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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 5 - Polinomio de Taylor

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5.2. Calcular el polinomio de Taylor de las siguientes funciones del orden indicado centrado en $x_{0}$.
d) $f(x)=\sqrt{3-x}$ de orden 2 con $x_{0}=2$.

Respuesta

Nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden $2$ centrado en $x=2$ de la función $f(x)=\sqrt{3-x}$

Sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura:

$ p(x) = f(2) + f'(2)(x - 2) + \frac{f''(2)}{2!}(x - 2)^2 $

Para poder completar nuestra respuesta, tenemos que evaluar $f$ y sus derivadas en $x=2$. Hacemos eso:

$ f(x) = \sqrt{3-x} $
$ f(2) = 1 $  $ f'(x) = \frac{-1}{2\sqrt{3-x}} $ $ f'(2) = -\frac{1}{2} $ $ f''(x) = \frac{-1}{4(3-x)^{3/2}} $ $ f''(2) = -\frac{1}{4} $
¡Listo! Reemplazamos los valores obtenidos en el esqueleto de nuestro polinomio de Taylor:

$ p(x) = 1 - \frac{1}{2}(x - 2) - \frac{1}{8}(x - 2)^2 $
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Zulma
28 de octubre 8:12
Hola Flor:
No entiendo como realizaste las cuentas.
f´ me da +1/2
f" no me da potencia 3/2, a mi me da potencia 3.

Podrías orientarme, por favor! Gracias
0 Responder
Flor
PROFE
28 de octubre 12:23
@Zulma Hola Zulma! Primero, fijate que $f(x) = \sqrt{3-x}$

Entonces, cuando hacemos la derivada nos queda:

$f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{3-x}} \cdot (-1)$

(ese $-1$ aparece por la regla de la cadena)

Así que $f'(x)$ directamente la podriamos escribir así:

$f'(x) = \frac{-1}{2 \sqrt{3-x}}$

Por eso, cuando reemplazamos $x=2$ ahí te queda $-1/2$ y no $1/2$ positivo, se ve? 

Y después para hacer la derivada segunda, una opción es pensar a $f'(x)$ escrita así (usando reglas de potencias)

$f'(x) = -\frac{1}{2}(3-x)^{-1/2}$

Ahora derivamos usando las reglas de polinomios (o sea, baja el -1/2 y restamos uno en el exponente... Entonces nos queda:

$f''(x) = -\frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (3-x)^{-1/2 -1} \cdot (-1)$

(de nuevo, el -1 multiplicando al final aparece por regla de la cadena)

Entonces tenemos:

$f''(x) = -\frac{1}{4} \cdot (3-x)^{-3/2}$

y esto lo podemos escribir como:

$f''(x) = -\frac{1}{4 (3-x)^{3/2}}$

de nuevo, usando reglas de potencias.

Avisame si con esto quedo más claro! :)
0 Responder