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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 5 - Polinomio de Taylor

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5.2. Calcular el polinomio de Taylor de las siguientes funciones del orden indicado centrado en x0x_{0}.
d) f(x)=3−xf(x)=\sqrt{3-x} de orden 2 con x0=2x_{0}=2.

Respuesta

Nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden 22 centrado en x=2x=2 de la función f(x)=3−xf(x)=\sqrt{3-x}

Sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura:

p(x)=f(2)+f′(2)(x−2)+f′′(2)2!(x−2)2 p(x) = f(2) + f'(2)(x - 2) + \frac{f''(2)}{2!}(x - 2)^2

Para poder completar nuestra respuesta, tenemos que evaluar ff y sus derivadas en x=2x=2. Hacemos eso:

f(x)=3−x f(x) = \sqrt{3-x}
f(2)=1 f(2) = 1   f′(x)=−123−x f'(x) = \frac{-1}{2\sqrt{3-x}} f′(2)=−12 f'(2) = -\frac{1}{2} f′′(x)=−14(3−x)3/2 f''(x) = \frac{-1}{4(3-x)^{3/2}} f′′(2)=−14 f''(2) = -\frac{1}{4}
¡Listo! Reemplazamos los valores obtenidos en el esqueleto de nuestro polinomio de Taylor:

p(x)=1−12(x−2)−18(x−2)2 p(x) = 1 - \frac{1}{2}(x - 2) - \frac{1}{8}(x - 2)^2
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Zulma
28 de octubre 8:12
Hola Flor:
No entiendo como realizaste las cuentas.
f´ me da +1/2
f" no me da potencia 3/2, a mi me da potencia 3.

Podrías orientarme, por favor! Gracias
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Flor
PROFE
28 de octubre 12:23
@Zulma Hola Zulma! Primero, fijate que f(x)=3−xf(x) = \sqrt{3-x}

Entonces, cuando hacemos la derivada nos queda:

f′(x)=123−x⋅(−1)f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{3-x}} \cdot (-1)

(ese −1-1 aparece por la regla de la cadena)

Así que f′(x)f'(x) directamente la podriamos escribir así:

f′(x)=−123−xf'(x) = \frac{-1}{2 \sqrt{3-x}}

Por eso, cuando reemplazamos x=2x=2 ahí te queda −1/2-1/2 y no 1/21/2 positivo, se ve? 

Y después para hacer la derivada segunda, una opción es pensar a f′(x)f'(x) escrita así (usando reglas de potencias)

f′(x)=−12(3−x)−1/2f'(x) = -\frac{1}{2}(3-x)^{-1/2}

Ahora derivamos usando las reglas de polinomios (o sea, baja el -1/2 y restamos uno en el exponente... Entonces nos queda:

f′′(x)=−12⋅(−12)⋅(3−x)−1/2−1⋅(−1)f''(x) = -\frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (3-x)^{-1/2 -1} \cdot (-1)

(de nuevo, el -1 multiplicando al final aparece por regla de la cadena)

Entonces tenemos:

f′′(x)=−14⋅(3−x)−3/2f''(x) = -\frac{1}{4} \cdot (3-x)^{-3/2}

y esto lo podemos escribir como:

f′′(x)=−14(3−x)3/2f''(x) = -\frac{1}{4 (3-x)^{3/2}}

de nuevo, usando reglas de potencias.

Avisame si con esto quedo más claro! :)
0 Responder